自分の生き方を考えるための日記

最大の読者が私だということを書き手の私は肝に銘じよ

等確率なルーレットでの賭けはなぜ大数の法則で必勝的でないのか

q.hatena.ne.jp

 

確率のお話だ、わーい。

 

回答しようと思ったけど、匿名回答2号氏が自分がだいたい書きたいことを書かれていたのと、これ以上書くとかえって混乱を招くと思い我慢。

 

上で問題になっていることと論点はあまり変わらない次の問題を考えることにする。

「確率1/2ずつで赤と黒が出るルーレットで賭けをする。黒と赤のうち、あまり出てない方に賭けることにする。大数の法則から、十分回数を増やすと、黒:赤=1:1の確率で出るはずだから、黒があまり出てないなら、黒が出やすくなる気がするが、実際はそうならない。このパラドックスをどう説明するか。」

 

何通りも説明の仕方が考えられるが、自分が昔この問題を考えた時に考えたことを書く(直観的な説明である)。

 

例えば既に黒が1回、赤が9回出ているとする。ここで黒が出る確率も赤が出る確率も1/2である。

(にも関わらず、黒が出る割合は、回数を増やすと1/2に収束することを説明する。)

なぜなら、次(11回目)に黒が出たとしよう。

すると、黒が出た割合は1/10から2/11に増える。ここでの割合の増加分は、2/11から1/10を引いた+9/110である。

次にもし赤が出たとすると、黒が出た割合は1/10から1/11に減少する。ここでの割合の増加分は、1/11から1/10を引いた-1/110である。

 

つまり、回数の観点から見れば、黒が出る回数が+1か赤が出る回数が+1になるわけで対称性は保証されているが、

割合の観点から見れば、あまり出てない色(黒)が出たときの(黒が出た回数の)割合の増え分の方が、既にたくさん出た色(赤)が出た時の(黒が出た回数の)割合の減少分よりも大きい。

ここで、対称性が崩れており、その対称性の崩れ方は、黒が出る割合が1/2に収束する方向に崩れている。

 

以上の説明で私自身は納得したがみなさんはどうか。